Marilyn vos Savant y el problema de las puertas
La siguiente curiosidad es del autor García (2006, p.158):
Marilyn vos Savant es la persona viva que ostenta el mayor índice de inteligencia del que se tenga noticia. Si usted, lector, o yo, como mucho podemos llegar a tener un índice (IQ) de aproximadamente 110 o 120 (siendo generosos), y si a partir de 150 se considera a una persona en la frontera para ser considerada un genio, esta señora tiene 228. No se conoce una persona con mayor coeficiente. Pues bien, Marilyn escribe una Columba en la revista Parade, columna que se titula “Pregúntale a Marilyn” y es que es muy popular. Su reputación como matemática no se benefició, sin embargo, con su libro The Worlds Most Famous Math Problems (Los problemas matemáticos más famosos del mundo) publicado en 1993, y donde cuestionaba no sólo la validez de la prueba de Wiles sobre el último teorema de Fermat, sino incluso la misma teoría de la relatividad.
Pues bien, en su columna del 9 de septiembre de 1990, Vos Savant contestó a un conocido problema de probabilidades remitido por un lector. Hacía referencia a un concurso, Monty Hall, entonces popular en la televisión, donde al participante se le ofrecían tres puertas. Detrás de una de ellas había un coche y detrás de las otras dos, una cabra ( o un premio de similar valor). El concursante elegía, por ejemplo, la puerta 1, y el presentador, que sabía dónde se escondía el coche, le abría otra puerta, donde se ocultaba una cabra. Entonces el presentador le daba la oportunidad de elegir entre las dos puertas restantes. El concursante se encontraba con el dilema de mantener la puerta elegida o cambiarla. ¿Qué debería hacer? Vos Savant aconsejaba, sin ninguna duda, cambiar de puerta. Argumentaba que mantener la puerta elegida proporcionaba 1/3 de probabilidades de ganar, pero que cambiando la puerta la probabilidad subía hasta los 2/3. Para convencer a sus lectores proponía que imaginaran un millón de puertas: “Usted elige la puerta número 1. Entonces el presentador, que sabe en donde se esconde el coche, abre todas las puertas excepto la número 777 777. Usted se cambiaría inmediatamente a esta puerta, ¿no es así?”. Esta solución que Vos Savant daba por evidente, por lo visto no lo era tanto. No bien apareció la solución en su columna, el correo la inundó con protestas de multitud de lectores, muchos de ellos matemáticos. Todos mantenían que la probabilidades eran las mismas para cada puerta, es decir, un 50%, no dos tercios a favor de cambiar de puerta. Las cartas remitidas por matemáticos eran las más ofensivas ; en ellas la acusaban de difundir errores matemáticos entre el público poco preparado en esta materia y le exigían que reconociese su error. Sostenían con tenacidad que, confrontado el concursante con dos puertas, las probabilidades de que el coche estuviera en una de las dos era sencilla, y obviamente, del 50%.
Como defensa de su tesis, Vos Saint incluyó en su siguiente columna una tabla como la que presentamos a continuación:
Marilyn vos Savant es la persona viva que ostenta el mayor índice de inteligencia del que se tenga noticia. Si usted, lector, o yo, como mucho podemos llegar a tener un índice (IQ) de aproximadamente 110 o 120 (siendo generosos), y si a partir de 150 se considera a una persona en la frontera para ser considerada un genio, esta señora tiene 228. No se conoce una persona con mayor coeficiente. Pues bien, Marilyn escribe una Columba en la revista Parade, columna que se titula “Pregúntale a Marilyn” y es que es muy popular. Su reputación como matemática no se benefició, sin embargo, con su libro The Worlds Most Famous Math Problems (Los problemas matemáticos más famosos del mundo) publicado en 1993, y donde cuestionaba no sólo la validez de la prueba de Wiles sobre el último teorema de Fermat, sino incluso la misma teoría de la relatividad.
Pues bien, en su columna del 9 de septiembre de 1990, Vos Savant contestó a un conocido problema de probabilidades remitido por un lector. Hacía referencia a un concurso, Monty Hall, entonces popular en la televisión, donde al participante se le ofrecían tres puertas. Detrás de una de ellas había un coche y detrás de las otras dos, una cabra ( o un premio de similar valor). El concursante elegía, por ejemplo, la puerta 1, y el presentador, que sabía dónde se escondía el coche, le abría otra puerta, donde se ocultaba una cabra. Entonces el presentador le daba la oportunidad de elegir entre las dos puertas restantes. El concursante se encontraba con el dilema de mantener la puerta elegida o cambiarla. ¿Qué debería hacer? Vos Savant aconsejaba, sin ninguna duda, cambiar de puerta. Argumentaba que mantener la puerta elegida proporcionaba 1/3 de probabilidades de ganar, pero que cambiando la puerta la probabilidad subía hasta los 2/3. Para convencer a sus lectores proponía que imaginaran un millón de puertas: “Usted elige la puerta número 1. Entonces el presentador, que sabe en donde se esconde el coche, abre todas las puertas excepto la número 777 777. Usted se cambiaría inmediatamente a esta puerta, ¿no es así?”. Esta solución que Vos Savant daba por evidente, por lo visto no lo era tanto. No bien apareció la solución en su columna, el correo la inundó con protestas de multitud de lectores, muchos de ellos matemáticos. Todos mantenían que la probabilidades eran las mismas para cada puerta, es decir, un 50%, no dos tercios a favor de cambiar de puerta. Las cartas remitidas por matemáticos eran las más ofensivas ; en ellas la acusaban de difundir errores matemáticos entre el público poco preparado en esta materia y le exigían que reconociese su error. Sostenían con tenacidad que, confrontado el concursante con dos puertas, las probabilidades de que el coche estuviera en una de las dos era sencilla, y obviamente, del 50%.
Como defensa de su tesis, Vos Saint incluyó en su siguiente columna una tabla como la que presentamos a continuación:
La tabla pretendía demostrar, en opinión de Vos Savant, que “cuando cambias, ganas dos veces de cada tres, y pierdes una vez de cada tres; pero cuando no cambias, los resultados son inversos: sólo ganas una vez de cada tres".
Pero la tabla no acalló a sus detractores. De los miles de cartas que recibió, nueve de cada diez no estaban de acuerdo, entre las que destacaban las de un estadístico del Instituto Nacional de la Salud y de un director del Centro por la Defensa de la Información. Algunos comunicados eran insultantes, hasta el punto de comparar a Vos Savant con una cabra y acusarla de sumir, más si cabe, a la población en la ignorancia matemática.
Vos Savant intentó otra forma de aproximación al problema. En otra de sus columnas sugirió que el lector imaginase que, justo después de que el presentador abriese la puerta le mostraba la cabra, apareciese un platillo volante en el plató del que saliese un hombrecillo verde. Sin conocer qué puerta ha elegido el concursante, se le pide al extraterrestre que elija entre una de las dos puertas restantes. La probabilidad de que en una de ellas esté el coche es, ciertamente, del 50%, pero sólo porque el extraterrestre no cuenta con la ventaja de saber lo que sabe el concursante con la ayuda del presentador: el contenido de una puerta anterior. Si el premio estuviera detrás de la puerta número 2, el presentador habría abierto la número tres; y si el coche estuviera detrás de la puerta número 3, habría abierto la número 2. Entonces, al cambiar, tú ganas si el premio se oculta tras la puerta número 2 o número 3. Pero si no cambias, sólo ganas si el coche está detrás de la puerta número 1.
En resumen, como hubieron de admitir posteriormente los matemáticos, Marilyn Vos Savant tenía razón. Como una demostración directa era excesivamente complicada, se realizaron pruebas por el método Montecarlo (consistente en realizar los suficientes ensayos y de ahí generalizar los resultados) y, efectivamente, éstas dieron la razón a Vos Savant. O sea, que si usted acude a un concurso de la televisión y se encuentra con el dilema expuesto, no lo dude: ¡Cambie de puerta!
Pero la tabla no acalló a sus detractores. De los miles de cartas que recibió, nueve de cada diez no estaban de acuerdo, entre las que destacaban las de un estadístico del Instituto Nacional de la Salud y de un director del Centro por la Defensa de la Información. Algunos comunicados eran insultantes, hasta el punto de comparar a Vos Savant con una cabra y acusarla de sumir, más si cabe, a la población en la ignorancia matemática.
Vos Savant intentó otra forma de aproximación al problema. En otra de sus columnas sugirió que el lector imaginase que, justo después de que el presentador abriese la puerta le mostraba la cabra, apareciese un platillo volante en el plató del que saliese un hombrecillo verde. Sin conocer qué puerta ha elegido el concursante, se le pide al extraterrestre que elija entre una de las dos puertas restantes. La probabilidad de que en una de ellas esté el coche es, ciertamente, del 50%, pero sólo porque el extraterrestre no cuenta con la ventaja de saber lo que sabe el concursante con la ayuda del presentador: el contenido de una puerta anterior. Si el premio estuviera detrás de la puerta número 2, el presentador habría abierto la número tres; y si el coche estuviera detrás de la puerta número 3, habría abierto la número 2. Entonces, al cambiar, tú ganas si el premio se oculta tras la puerta número 2 o número 3. Pero si no cambias, sólo ganas si el coche está detrás de la puerta número 1.
En resumen, como hubieron de admitir posteriormente los matemáticos, Marilyn Vos Savant tenía razón. Como una demostración directa era excesivamente complicada, se realizaron pruebas por el método Montecarlo (consistente en realizar los suficientes ensayos y de ahí generalizar los resultados) y, efectivamente, éstas dieron la razón a Vos Savant. O sea, que si usted acude a un concurso de la televisión y se encuentra con el dilema expuesto, no lo dude: ¡Cambie de puerta!